Question

曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在点（2，2ⁿ⁺¹）处的切线与x轴的交点的横坐标为a_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设bn=

1

a1•a2…an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵y^′=（n+1）•xⁿ，
∴直线的方程为y-2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ•（x-2），
令y=0得a_n=

2n

n+1

（Ⅱ）∵a1a2an=2n(

1

2

2

3

n

n+1

)，∴bn=(n+1)•(

1

2

)n
∴Sn=2•(

1

2

)+3•(

1

2

)2+4•(

1

2

)3++(n+1)•(

1

2

)n
∴

1

2

Sn=2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3++n•(

1

2

)n+(n+1)•(

1

2

)n+1
∴Sn=3-

n+3

2n