Question

已知函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+2cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期及递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-

π

3

，

π

3

]上值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的正确直接求函数f（x）的周期，通过正弦函数的单调减区间求出函数的单调增区间；
（Ⅱ）通过[-

π

3

，

π

3

]，求出相位的范围，通过正弦函数值域求解即可．

解答：解：函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+2cos2x
=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+cos2x+1
=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=1-

3

sin（2x-

π

3

）．
（Ⅰ）函数f（x）的周期T=π，
由∵

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
∴

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z
所以y=1-

3

sin（2x-

π

3

）的单调增区间是[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，∴2x-

π

3

∈[-π，

π

3

]，
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，
函数f（x）在[-

π

3

，

π

3

]上值域为：[-

1

2

，

3

+1]．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式是解本题的关键．