Question

20．设x∈（0，$\frac{π}{2}$]，则下列命题：（1）x≥sinx；（2）sinx≥xcosx；（3）y=$\frac{sinx}{x}$是单调减函数；（4）若sinkx≥ksinx恒成立，则正数k的取值范围是0＜k≤1；其中真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据函数的单调性，分别对（1），（2），（3），（4）进行判断即可．

解答 解：设x∈（0，$\frac{π}{2}$]，则下列命题：
（1）令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）_min＞f（0）=0，故x＞sinx，故x≥sinx；
（2）令f（x）=sinx-xcosx，则f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx＞0，
f（x）递增，f（x）_min＞f（0）=0，sinx＞xcosx，故sinx≥xcosx；
（3）∵y=$\frac{sinx}{x}$，∴y′=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=xcosx-sinx，g′（x）=-sinx＜0，
∴g（x）_max＜g（0）=0，
∴y′＜0
∴y=$\frac{sinx}{x}$是单调减函数；
（4）若sinkx≥ksinx恒成立，
而0＜sinkx≤1，0＜sinx≤1
则正数k的取值范围是0＜k≤1；
其中真命题的个数是4个，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．