Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、D₁B₁的中点.求证：EF⊥平面B₁AC.

Answer 1

证明：设正方体的棱长为2,取、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，则?

A（2，0，0）、C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、E（2，2，1）、F（1，1，2）.?

∴=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1),?

=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),?

=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).?

∵·=（-1，-1，1）·（0，2，2）=（-1）×0+（-1）×2+1×2=0，?

·=（-1，-1，1）·（-2，2，0）=2-2+0=0，?

∴EF⊥AB₁，EF⊥AC.?

又AB₁∩AC=A,?

∴EF⊥平面B₁AC.

点评:用向量的坐标运算证明向量垂直的关键在于建立适当的坐标系并且正确的求出各点及相关向量的坐标.