Question

设a∈R，讨论定义在(-∞，0)的函数f(x)=ax³+(a+)x²+(a+1)x的单调性．

Answer 1

解：f′(x)=ax²+(2a+1)x+a+1=(x+1)(ax+a+1)，x＜0．

(1)若a=0，则f′(x)=x+1．

当x∈(-∞，-1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(-1，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

(Ⅱ)若a≠0时，则f′(x)=a(x+1)[x+(1+)]．

(ⅰ)若a＞0，则

当x∈(-∞，-1-)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(-1-，-1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(-1，0)时，f′(x)＞0；f(x)单调递增．

(ⅱ)若-1≤a＜0，则

当x∈(-∞，-1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(-1，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

(ⅲ)若a＜-1，则

当x∈(-∞，-1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(-1，-1-)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(-1-，0)时，f∈(x)＜0，f(x)单调递减．