Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，π））的图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x）+

3

f（x+2），在x∈[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由图易知A=3，T=8，f（1）=3，从而可求ω及φ；
（2）由（1）知f（x）=3sin（

π

4

x+

π

4

），于是可求g（x）=f（x）+

3

f（x+2）=6sin（

π

4

x+

7π

12

）．当x∈[-1，3]⇒

π

4

x+

7π

12

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函数的单调性即可求得
g（x）在x∈[-1，3]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）由图可得A=3，
f（x）的周期为8，则

2π

ω

=4，即ω=

π

4

；   
f（-1）=f（3）=0，则f（1）=3，
∴sin（

π

4

+φ）=1，即

π

4

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，又φ∈[0，π），
∴φ=

π

4

，
综上所述，f（x）的解析式为f（x）=3sin（

π

4

x+

π

4

）；   
（2）g（x）=f（x）+

3

f（x+2）
=3sin（

π

4

x+

π

4

）+3

3

sin[

π

4

（x+2）+

π

4

）]
=3sin（

π

4

x+

π

4

）+3

3

cos（

π

4

x+

π

4

）
=6[

1

2

sin（

π

4

x+

π

4

）+

3

2

cos（

π

4

x+

π

4

）]
=6sin（

π

4

x+

7π

12

）．
当x∈[-1，3]时，

π

4

x+

7π

12

∈[

π

3

，

4π

3

]，
故当

π

4

x+

7π

12

=

π

2

即x=-

1

3

时，sin（

π

4

x+

7π

12

）取得最大值为1，
则g（x）的最大值为g（-

1

3

）=6；                    
当

π

4

x+

7π

12

=

4π

3

即x=3时，sin（

π

4

x+

7π

12

）取得最小值为-

3

2

，
则g（x）的最小值为g（3）=6×（-

3

2

）=-3

3

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数变换与正弦函数的单调性与最值的综合应用，属于难题．