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(本小题满分13分)已知椭圆C1:的离心率为,直线l: y-=x+2与.以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.

(1)求椭圆C1的方程;

(ll)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l2过点F价且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;

(III)过椭圆C1的左顶点A作直线m,与圆O相交于两点R,S,若△ORS是钝角三角形,     求直线m的斜率k的取值范围.

 

【答案】

(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)

【解析】

试题分析:(Ⅰ)由              ………………2分

由直线

所以椭圆的方程是                      …………………4分

(Ⅱ)由条件,知|MF2|=|MP|。即动点M到定点F2的距离等于它到直线的距离,由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是。     …………8分

(Ⅲ)由(1),得圆O的方程是

设

得 

则                 ……………9分

由     ①…………10分

因为

所以                                          ②……12分

由A、R、S三点不共线,知。                       ③

由①、②、③,得直线m的斜率k的取值范围是……13分

考点:本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系

点评:求解圆锥曲线的方程关键是求解a和b,可应用已知条件得到关于两个参量的方程或由性质直接求得;向量在圆锥曲线问题中往往只起到一个工具的作用,即为解题提供方程或函数.求解解析几何问题也要注重对数学思想的应用.

 

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