Question

已知{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式，即可求{a_n}的通项公式；
（2）利用累加法，可求求数列{b_n}的通项公式；
（3）利用分组求和，结合等比数列的求和公式，即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）知，bn+1=bn+2n
∴bn+1-bn=2n
∴n≥2时，bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+2+…+2n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1
n=1时，结论也成立
∴b_n=2ⁿ-1；
（3）数列{b_n}的前n项和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-2n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2n-2．

点评：本题考查等差数列的判定，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．