Question

如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E∈A₁D，F∈AC，且EF⊥A₁D，EF⊥AC，求证：EF∥BD₁．

Answer 1

答案：
解析：

证明：连结AB1、B1C、BD， 　　∵DD1⊥面ABCD，ACABCD， 　　∴DD1⊥AC． 　　又AC⊥BD，∴AC⊥面BDD1B1， 　　∴AC⊥BD1． 　　同理可证BD1⊥B1C． 　　∴BD1⊥平面AB1C． 　　又EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C． 　　又EF⊥AC，∴EF⊥面AB1C． 　　∴EF∥BD．

提示：

分析：构造辅助平面，将垂直关系转化为线面垂直，再利用线面垂直的性质将垂直关系转化为平行关系． 　　解题心得：已知条件涉及垂直关系而求证结论是平行关系时，往往通过构造辅助平面将垂直关系转化为平行关系．