Question

已知z为虚数，z+

9

z-2

为实数．
（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）求|z-4|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），根据z-2为纯虚数求得x的值，再由z+

9

z-2

为实数求出y的值，即得虚数z．
（2）由z+

9

z-2

为实数且y≠0 可得（x-2）²+y²=9，由此求得x的范围，根据复数的模的定义把要求的式子可化为

21-4x

，从而得到

21-4x

的范围．

解答：解：（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），则z-2=x-2+yi，
由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分）
则 z+

9

z-2

=2+yi+

9

yi

=2+(y-

9

y

)i∈R，…（4分）
得y-

9

y

=0，y=±3，…（6分）   所以z=2+3i或z=2-3i．…（7分）
（2）∵z+

9

z-2

=x+yi+

9

x+yi-2

=x+

9(x-2)

(x-2)2+y2

+[y-

9y

(x-2)2+y2

]i∈R，
∴y-

9y

(x-2)2+y2

=0，∵y≠0，∴（x-2）²+y²=9，…（10分）
由（x-2）²＜9得x∈（-1，5），…（12分）
∴|z-4|=|x+yi-4|=

(x-4)2+y2

=

(x-4)2+9-(x-2)2

=

21-4x

∈(1，5)．…（15分）

点评：本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数求模，属于基础题．