Question

已知圆C的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆T：的右顶点和上顶点，
（Ⅰ）求椭圆T的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆T相交于P、Q两不同点，直线l方程为，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：x=2 ，
设另一条切线方程为：，
则：，解得：，
此时切线方程为：，
切线方程与圆方程联立得：，
则直线AB的方程为，
令x=0，解得y=1，∴b=1；
令y=0，得x=2，
∴，
故所求椭圆方程为。
（Ⅱ）联立整理得，
令，，
则，，
，即：，
原点到直线l的距离为 ，
，∴
，
当且仅当时取等号，
则面积的最大值为1。