Question

（2013•枣庄二模）已知数列{a_n}满足：2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．若存在实数λ，使得λ≥T_n，试求出实数λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，由2a1+2a2+…+2an-1+2an=2ⁿ⁺¹-2，2a1+2a2+…+2an-1=2ⁿ-2，相减即可得出a_n，当n=1时，单独考虑；
（2）利用（1）的结论即可得到b_n，利用裂项求和即可得出T_n，进而得出数列{T_n}的单调性，即可得到λ的值．

解答：解：（1）当n≥2时，∵2a1+2a2+…+2an-1+2an=2ⁿ⁺¹-2
2a1+2a2+…+2an-1=2ⁿ-2，
∴2an=(2n+1-2)-(2n-2)，即2an=2n．
当n=1时，2a1=22-2，解得a₁=1，也符合上式．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n；
（2）由（1）可知：bn=

2

anan+1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)．
∵Tn+1-Tn=2(1-

1

n+2

)-2(1-

1

n+1

)=

2

(n+1)(n+2)

＞0，
∴T_n+1＞T_n．数列{T_n}是单调递增数列，
∴{T₁}的最小值为T₁=1．
由题意，λ≥数列{T_n}的最小值=1，
∴实数λ的最小值为1．

点评：本题综合考查了求数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．