Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-ax2+b在x=-2处有极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，又因为在x=-2处有极值，故f'（-2）=0求出a的值
（2）由（1）可求出f（x）的极大值和极小值，根据单调区间和极值的正负可求解．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2ax
由题意知：f′（-2）=4+4a=0，得a=-1，
∴f′（x）=x²+2x，
令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），
单调递减区间是（-2，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

1

3

x3+x2+b，
f（-2）=

4

3

+b为函数f（x）极大值，f（0）=b为极小值．
∵函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，
∴

f(-3)≤0 f(0)＞0

或

f(3)≥0 f(-2)＜0

或

f(-3)＞0 f(3)＜0

或

f(-2)=0 f(3)＜0

或

f(-3)＞0 f(0)=0

，
即

18+b≥0 4 3 +b＜0

，
∴-18≤b＜-

4

3

，即b的取值范围是[-18，-

4

3

)．

点评：本题主要考查通过求函数的导数确定函数单调区间的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．