Question

已知数列{a_n}中，a₁=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）若数列{

an+λ

2n

}为等差数列，求实数λ的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）方法1：∵a₁=5，
∴a2=2a1+22-1=13，a3=2a2+23-1=33．
设bn=

an+λ

2n

，由{b_n}为等差数列，则有2b₂=b₁+b₃．
∴2×

a2+λ

22

=

a1+λ

2

+

a3+λ

23

．
∴

13+λ

2

=

5+λ

2

+

33+λ

8

．
解得 λ=-1．
事实上，bn+1-bn=

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=

1

2n+1

[(an+1-2an)+1]=

1

2n+1

[(2n+1-1)+1]=1，
综上可知，当λ=-1时，数列{

an+λ

2n

}为首项是2、公差是1的等差数列．
方法2：∵数列{

an+λ

2n

}为等差数列，
设bn=

an+λ

2n

，由{b_n}为等差数列，则有2b_n+1=b_n+b_n+2（n∈N^*）．
∴2×

an+1+λ

2n+1

=

an+λ

2n

+

an+2+λ

2n+2

．
∴λ=4a_n+1-4a_n-a_n+2=2（a_n+1-2a_n）-（a_n+2-2a_n+1）=2（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ⁺²-1）=-1．
综上可知，当λ=-1时，数列{

an+λ

2n

}为首项是2、公差是1的等差数列．
（2）由（1）知，

an-1

2n

=

a1-1

2

+(n-1)×1，
∴an=(n+1)•2n+1．
∴Sn=(2•21+1)+(3•22+1)+…+(n•2n-1+1)+[(n+1)•2n+1]．
即Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n+n．
令Tn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n，①
则2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1．         ②
②-①，得Tn=-2•21-(22+23+…+2n)+(n+1)•2n+1=n•2ⁿ⁺¹．
∴Sn=n•2n+1+n=n•(2n+1+1)．