Question

用定义证明：?

（1）函数f（x）=ax+b（a<0，a、b为常数）在R上是减函数;?

（2）函数g（x）=（k<0，k为常数）在（－∞，0）上是增函数.?

Answer 1

证明:（1）设任意的x₁、x₂∈R，且x₁<x₂,?

则f（x₁）－f（x₂）=（ax₁+b）－（ax₂+b）=a（x₁－x₂）,?

由x₁<x₂及a<0，得a（x₁－x₂）>0.?

∴f（x₁）－f（x₂）>0，即f（x₁）>f（x₂）.?

∴f（x）=ax+b（a<0）在R上为减函数.?

（2）设x₁、x₂∈（－∞，0），且x₁<x₂，则g（x₁）－g（x₂）=－=,?

∵x₁<x₂<0，∴x₁x₂>0，x₂－x₁>0.?

又k<0，∴g（x₁）－g（x₂）<0,即g（x₁）<g（x₂）.?

∴g（x）=（k<0）在（－∞，0）上为增函数.?

点评:证明或判断函数的单调性，严格地说必须用增、减函数定义，其步骤是：设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论.对于正、反比例函数，一、二次函数的单调性，要熟练掌握证明方法，并能结合图象快速指出单调区间.