Question

设函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2．
（Ⅰ）设函数F(x)=f(x)-

1

4

g(x)，求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，当x∈（1，t]时，都有tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）成立，求实数t的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）函数F(x)=f(x)-

1

4

g(x)=lnx-

1

8

x2，定义域为（0，+∞）
求导函数F′（x）=

4-x2

4x

，令F′（x）＞0，结合x＞0，可得0＜x＜2
∴F（x）的单调递增区间为（0，2）；
（Ⅱ）设函数G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，则tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等价于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

∴

f(x)

g(x)

≤

f(t)

g(t)

设h(x)=

f(x)

g(x)

，则问题等价于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，h（t）为h（x）的最大值
而h(x)=

f(x)

g(x)

=

2lnx

x2

，
∴h′(x)=

2(1-2lnx)

x3

(x＞0)
∴h（x）在区间（

e

，+∞）上单调递减，在区间（1，

e

）上单调递增
∴t≤

e

∴实数t的最大值为

e

．