Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{{{a^2}-1}}{2}$x²-a²x+a，x∈R，a∈R．
（1）若函数f（x）在区间[0，2]内恰有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若a=-1，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记F（t）=M（t）-m（t），求函数F（t）在区间[-3，-1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到函数在[0，2]内的极值点，求得极小值为g（1），由$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（2）≥0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$求解不等式组得到a的取值范围；
（2）把a=-1代入函数解析式，求出函数的导函数，得到函数的单调期间，然后对t的范围分类讨论，求出函数F（t）在区间[-3，-1]上的解析式，利用导数求得函数的最小值$\frac{4}{3}$．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{{{a^2}-1}}{2}$x²-a²x+a，x∈R，a∈R，得
f′（x）=x²+（a²-1）x-a²x，由f′（x）=0，得x=-a²或x=1，
当x∈[0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴在x∈[0，2]上f（x）有极小值，为f（1），
若函数f（x）在区间[0，2]内恰有两个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（2）≥0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{\frac{8}{3}+2（{a}^{2}-1）-2{a}^{2}+a≥0}\\{\frac{1}{3}+\frac{{a}^{2}-1}{2}-{a}^{2}+a＜0}\end{array}\right.$，解得：$0≤a＜1-\frac{\sqrt{6}}{3}$或$a＞1+\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴使函数f（x）在区间[0，2]内恰有两个零点的实数a的取值范围是$[0，1-\frac{\sqrt{6}}{3}）∪（1+\frac{\sqrt{6}}{3}，+∞）$；
（2）当a=-1时，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-x+1$，f′（x）=x²-1，
由f′（x）=0，得x=±1．
当x∈（-∞，-1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，1）时f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上为增函数，在（-1，1）上为减函数．
若t+3≤-1或t≥1，即t≤-4或t≥1时，f（x）在[t，t+3]上为增函数，M（t）=f（t+3）=$\frac{1}{3}（t+3）^{3}-（t+3）+1$，
m（t）=f（t）=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$，F（t）=M（t）-m（t）=3t²+9t+6；
若$\left\{\begin{array}{l}{t＜-1}\\{-1＜t+3≤1}\end{array}\right.$，即-4＜t≤-2时，M（t）=f（-1）=$\frac{5}{3}$，
m（t）=min{f（t），f（t+3）}=f（t）=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$，
F（t）=$\frac{5}{3}-\frac{1}{3}{t}^{3}+t-1=-\frac{1}{3}{t}^{3}+t+\frac{2}{3}$；
若$\left\{\begin{array}{l}{t+3＞1}\\{-1≤t＜1}\end{array}\right.$，即-1≤t＜1时，m（t）=f（1）=$\frac{1}{3}$，
M（t）=max{f（t），f（t+3）}=f（t+3）=$\frac{1}{3}（t+3）^{3}-（t+3）+1$，
F（t）=$\frac{1}{3}（t+3）^{3}-（t+3）+1$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}{t}^{3}+3{t}^{2}+8t+\frac{20}{3}$；
若$\left\{\begin{array}{l}{t≤-1}\\{t+3≥1}\end{array}\right.$，即-2≤t≤-1时，M（t）=f（-1）=$\frac{5}{3}$，
m（t）=f（1）=$\frac{1}{3}$，F（t）=$\frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．
∴$F（t）=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{t}^{3}+t+\frac{2}{3}，-3≤t≤-2}\\{\frac{4}{3}，-2≤t≤-1}\end{array}\right.$．
F′（t）=-t²+1在x∈[-3，-2]上小于0，
F（t）=$-\frac{1}{3}{t}^{3}+t+\frac{2}{3}$在[-3，-2]上为减函数，
$F（t）_{min}=\frac{4}{3}$，$F（t）_{max}=\frac{20}{3}$．
∴函数F（t）在区间[-3，-1]上的最小值为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答该题的关键，属难度较大的题目．