Question

已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，

(1)求t的值；

(2)已知a与b共线同向，求证：b⊥(a＋tb)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：令m＝|a＋tb|，θ为a，b的夹角，则 　　m2＝|a|2＋2a·tb＋t2|b|2 　　＝t2|b|2＋2t|a||b|cosθ＋|a|2 　　＝|b|2(t＋cosθ)2＋|a|2sin2θ． 　　∴当t＝－cosθ时，|a＋tb|有最小值|a|sinθ． 　　(2)证明：∵a与b共线且方向相同，故cosθ＝1． 　　∴t＝－．∴b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝|a||b|－|a||b|＝0．∴b⊥(a＋tb)．

提示：

利用向量数量积的运算，将a＋tb的模表示为t的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t的值．要证(a＋tb)⊥b，只需证b·(a＋tb)＝0．利用a与b共线且同向的条件，确定t的值．