Question

已知函数，
（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（-1，+∞）是增函数；
（2）试求在区间[1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

解：（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
则
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为（-1，+∞）上的增函数．
（2）令t=2^x，则t∈[2，4]，
由（1）可知在[2，4]上为增函数，
则，
．
分析：（1）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，讨论f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义可得答案．
（2）令t=2^x，则t∈[2，4]，根据（1）的定义，分析出函数在[2，4]的单调性，进而可得函数的最值．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数单调性的证明与应用，其中熟练掌握定义法证明函数单调性的方法和步骤是解答的关键．