Question

在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点且过D、E的椭圆与双曲线的离心率之和为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  3

  -1
• C、2

  3

• D、2

Answer 1

分析：作出如图所示的示意图，可得椭圆与双曲线有公共的焦距|BC|=2c，在Rt△BCD中算出|CD|=

1

2

|BC|=c且|BD|=

3

2

|BC|=

3

c，利用椭圆的定义算出椭圆的长轴2a=（

3

+1）c，从而得出椭圆的离心率e₁=

3

-1，同样的方法利用双曲线的定义算出题中双曲线的离心率，即可得到所求椭圆与双曲线的离心率之和．

解答：解：作出示意图，如图所示．设椭圆的长轴长是2a，双曲线的实轴长是2a'，
根据题意，可得椭圆与双曲线有公共的焦距|BC|=2c，
∵CD⊥BD，∠CBA=30°，
∴Rt△BCD中，|CD|=

1

2

|BC|=c，|BD|=

3

2

|BC|=

3

c．
设椭圆、双曲线的离心率分别为e₁、e₂
∵点D在椭圆上，∴根据椭圆的定义得|BD|+|CD|=2a，
即c+

3

c=2a，得到a=

3 +1

2

c，由此可得椭圆的离心率e₁=

c

a

=

3

-1．
∵点D在双曲线上，可得|BD|-|CD|=2a'，
∴即

3

c-c=2a'，得到a'=

3 -1

2

c，可得双曲线的离心率e₂=

c

a′

=

3

+1．
因此，椭圆与双曲线的离心率之和e₁+e₂=（

3

-1）+（

3

+1）=2

3

．
故选：C

点评：本题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的离心率之和．着重考查了解直角三角形、椭圆和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．