Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=bⁿ+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）
（1）求r的值；      
（2）当b=2时，记（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n=，由，知a₁=S₁=b+r，a_n=S_n-S_n-1=（b-1）•b^n-1，再由{a_n}为等比数列，能求出r．
（2）由a_n=（b-1）•b^n-1，b=2，知a_n=2^n-1，b_n==，由此利用错位相减法能求出T_n．
解答：解：（1）因为，当n=1时，a₁=S₁=b+r，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）
=bⁿ-b^n-1
=（b-1）•b^n-1，（3分）
又∵{a_n}为等比数列，
∴=b-1=b+r，
∴r=-1．（4分）
（2）证明：由（1）得等比数列{a_n}的首项为b-1，公比为b，
∴a_n=（b-1）•b^n-1，（5分）
当b=2时，=2^n-1，
b_n===，（6分）
设T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
则T_n=，
=，（7分）
两式相减，得=
=-=，（9分）
所以=．（10分）
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．