Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D为BC中点，E为CC₁中点，侧面BCC₁B₁为正方形．
（1）证明：A₁C∥平面AB₁D；
 （2）证明：BE⊥AB₁；
 （3）设∠BAC=θ，若AB=

2

，求VA1-ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）要证A₁C∥平面AB₁D，只需证明A₁C∥OD即可；（2）要证BE⊥AB₁，只要证BE⊥面AB₁D，只要证BE垂直于平面中的两条相交直线；（3）因为AA₁⊥面ABC，所以VA1-ABC=

1

3

•

1

2

•AB•AC•sinθ•AA1=

1

6

•2•sinθ•BC
从而VA1-ABC=

2

3

cos3θ-cos2θ-cosθ+1

，利用导数法可求．

解答：证明：（1）连A₁B交AB₁于O，因为D为BC中点，所以A₁C∥OD
又∵A₁C?面AB₁D，OD⊆面AB₁D∴A₁C∥平面AB₁D
（2）因为BCC₁B₁为正方形，D为BC中点，E为CC₁中点，
所以△B₁BD≌△BCE，所以∠EBC=∠BB₁D
又因为∠BB₁D+∠BDB₁=90⁰，所以∠EBC+∠BDB₁=90⁰
所以BE⊥B₁D
因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC
又因为面ABC⊥面BCC₁B₁，面ABC∩面BCC₁B₁=BC，AD⊆面ABC
所以AD⊥BCC₁B₁，所以AD⊥BE
又因为AD∩B₁D=D，所以BE⊥面AB₁D，所以BE⊥AB₁
（3）因为AA₁⊥面ABC，所以VA1-ABC=

1

3

•

1

2

•AB•AC•sinθ•AA1=

1

6

•2•sinθ•BC
在△ABC中，BC2=2+2-2•

2

•

2

•cosθ=4-4cosθ(0＜θ＜π)
所以VA1-ABC=

1

6

•2•sinθ•

4(1-cosθ)

=

2

3

(1-cos2θ)(1-cosθ)

=

2

3

cos3θ-cos2θ-cosθ+1

令t=cosθ，f（t）=t³-t²-t+1，t∈（-1，1）
则f'（t）=3t²-2t-1，令f'（t）=0，得t=-

1

3

或t=1（舍去）
因为t∈(-1，-

1

3

)时，f'（t）＞0，t∈(-

1

3

，1)时，f'（t）＜0
所以f（t）在(-1，-

1

3

)递增，在(-

1

3

，1)递减，故max=f(-

1

3

)=

32

27

，此时cosθ=-

1

3

所以当cosθ=-

1

3

时，VA1-ABC取最大值

2

3

32 27

=

8 6

27

点评：本题主要考查空间线面位置关系，线面相互转化是关键，应熟练掌握相关性质与判定．