Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，
PA=PD=AD=2
（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

Answer 1

解：（1）当t=时，PA平面MQB
下面证明：若PA平面MQB，连AC交BQ于N
由AQBC可得，△ANQ∽△BNC，
∴
PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PAMN
  
即：PM=PC
∴t=
（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
所以PQ⊥平面ABCD，
连BD，四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60° △ABD为正三角形，Q为AD中点，
∴AD⊥BQ
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，，0），Q（0，0，0），P（0，0，）
设平面MQB的法向量为，
可得
而PAMN
∴，
取z=1，解得
取平面ABCD的法向量
设所求二面角为θ，则
故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°