Question

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：
（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】分析：（1）平面AMD内的直线MA，平行平面BPC内的直线PB，即可证明平面AMD∥平面BPC；
（2））连接AC，设AC∩BD=E，取PD中点F，连接EF，MF．证明MF⊥平面PBD，从而证明平面PMD⊥平面PBD．
解答：证明：（1）因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA．因PB?平面BPC，MA不在平面BPC内，所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，因为MA?平面AMD，AD?平面AMD，MA∩AD=A，所以平面AMD∥平面BPC．（6分）
（2）连接AC，设AC∩BD=E，取PD中点F，连接EF，MF．
因ABCD为正方形，所以E为BD中点．
因为F为PD中点，所以EFPB．因为AMPB，所以AMEF．
所以AEFM为平行四边形．所以MF∥AE．因为PB⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PB⊥AE．所以MF⊥PB．
因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD．所以MF⊥BD．
所以MF⊥平面PBD．又MF?平面PMD．
所以平面PMD⊥平面PBD．（14分）
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．