Question

（2012•宣城模拟）已知函数y=sin⁶x+cos⁶x （x∈R），用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）将其化简，并求其周期、最小值和单调递减区间．

Answer 1

分析：利用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）将函数y=sin⁶x+cos⁶x （x∈R），化简为y=

5

8

+

3

8

cos4x，从而可求其周期、最小值和单调递减区间．

解答：解：∵y=sin⁶x+cos⁶x=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=1•（sin²x+cos²x）²-3sin²xcos²x
=1-

3

4

sin²2x
=

5

8

+

3

8

cos4x…（6分），
∴周期T=

2π

4

 …（7分），
 最小值为：

5

8

-

3

8

=

1

4

…（9分）
由2kπ≤4x≤2kπ+π，（k∈Z）得：

kπ

2

≤x≤

kπ

2

+

π

4

，（k∈Z）
∴单调递减区间[

kπ

2

，

kπ

2

+

π

4

]，（k∈Z）…（12分）     注：丢掉k∈Z扣1分．

点评：本题考查二倍角的余弦，三角函数的平方关系式及三角函数的周期性及其求法，突出考查余弦函数的单调性，属于中档题．