Question

已知函数f(x)＝．

(1)设a＞0，讨论y＝f(x)的单调性；

(2)若对任意x∈(0，1)恒有f(x)＞1，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．对f(x)求导数，得(x)＝． 　　①当a＝2时，(x)＝，(x)在(－∞，0)，(0，1)和(1，＋∞)上均大于0，且f(x)在x＝0处连续，所以f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数． 　　②当0＜a＜2时，(x)＞0，f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数． 　　③当a＞2时，0＜＜1，令(x)＝0，解得x1＝－，x2＝． 　　当x变化时，(x)和f(x)的变化情况如下表： 　　f(x)在(－∞，－)，(，1)，(1，＋∞)上为增函数，f(x)在(－，)上为减函数． 　　(2)①当0＜a≤2时，由(1)，知对任意x∈(0，1)恒有f(x)＞f(0)＝1． 　　②当a＞2时，取x0＝∈(0，1)，则由(1)，知f(x0)＜f(0)＝1． 　　③当a≤0时，对任意x∈(0，1)，恒有＞1且e－ax≥1， 　　得f(x)＝ e－ax≥＞1． 　　综上，当且仅当a∈(－∞，2]时，对任意x∈(0，1)恒有f(x)＞1．