Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；
(Ⅱ)求证：AC⊥平面EDB；
(Ⅲ)求二面角B-DE-C的大小．

Answer 1

(Ⅰ)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点， 连EG，GH，又H为BC的中点， ∴， 又， ∴， ∴四边形EFHC为平行四边形， ∴EC∥FH，而EG平面EDB， ∴FH∥平面EDB。 (Ⅱ)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC， 又EF∥AB， ∴EF⊥BC，而EF⊥FB， ∴EF⊥平面BFC， ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH， 又BF=FC，H为BC的中点， ∴FH⊥BC， ∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC， 又FH∥EG，∴AC⊥EG， 又AC⊥BD，EG∩BD=G， ∴AC⊥平面EDB。 (Ⅲ)解：EF⊥FB，∠BFC=90°， ∴BF⊥平面CDEF，在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K， 则∠FKB为二面角B-DE-C的一个平面角， 设EF=1，则AB=2，FC=，DE=， 又EF∥DC， ∴∠KEF=∠EDC， ∴， ∴， ∴∠FKB=60°， ∴二面角B-DE-C为60°。