Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a＝(3，－1)共线．

(1)求椭圆的离心率；

(2)设M为椭圆上任意一点，且(λ，μ∈R)，证明λ²＋μ²为定值．

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：本题只要根据题意先假设出椭圆的方程，再由题意将相关的直线方程表示出来，联立将方程消去一个未知数，再由根与系数间的关系，从而将问题解决． 　　解：设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，F(c，0)， 　　则直线AB的方程为y＝x－c，代入＝1， 　　化简得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0． 　　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， 　　由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，与a共线，得 　　3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0． 　　又y1＝x1－c，y2＝x2－c， 　　∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0． 　　∴x1＋x2＝，即． 　　∴a2＝3b2． 　　∴c＝． 　　故离心率为e＝． 　　(2)证明：由(1)知a2＝3b2， 　　∴椭圆＝1可化为x2＋3y2＝3b2． 　　设＝(x，y)，由已知得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)， 　　∴ 　　∵M(x，y)在椭圆上， 　　∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2， 　　即λ2(x12＋3y2)＋μ(x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2　　① 　　由(1)知x1＋x2＝，a2＝，b2＝． 　　∴x1x2＝． 　　∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋3c2＝＝0． 　　又x12＋3y12＝3b2，x22＋3y22＝3b2， 　　代入①得λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值，定值为1．