Question

已知f（x）=-4cos²x+4

3

asinxcosx，将f（x）的图象按向量

b

=(-

π

4

，2）平移后，图象关于直线x=

π

12

对称．
（1）求实数a的值，并求f（x）取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）求得将f（x）的图象按向量

b

=(-

π

4

，2）平移后的解析式为g（x）=f（x+

π

4

）+2=2sin2x+2

3

acos2x，利用其图象关于直线x=

π

12

对称可求得a；
（2）将 f(x)=2

3

sin2x-2cos2x-2化为f(x)=4sin(2x-

π

6

)-2，利用正弦函数的单调性可求得f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）f（x）=2

3

asin2x-2cos2x-2，
将f（x）的图象按向量

b

=(-

π

4

，2）平移后的解析式为g（x）=f（x+

π

4

）+2=2sin2x+2

3

acos2x．…（3分）
∵g（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，
∴有g（0）=g（

π

6

），即2

3

a=

3

+

3

a，解得a=1．   …（5分）
则f（x）=2

3

sin2x-2cos2x-2=4sin(2x-

π

6

）-2．   …（6分）
当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

3

时，f（x）取得最大值2．…（7分）
因此，f（x）取得最大值时x的集合是{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}．…（8分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

．
因此，f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．…（12分）

点评：本题考查三角函数的最值，重点考查正弦函数的对称性质与单调性，难点是辅助角公式的理解与应用，属于中档题．