Question

21. 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax²+bx²+cx+d.方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根.

（1）求d的值；

（2）若a=0，求c的取值范围；

（3）若a=l，f（1）=0，求c的取值范围.

Answer 1

解：（1）设r为方程的一个根，即f（r）=0，则由题设得g（f（r））=0.于是，g（0）=g（f（r））=0.即g（0）=d=0.所以，d=0.

（2）由题意及（1）知f（x）=bx²+cx，g（x）=ax³+bx²+cx.

由a=0得b，c是不全为零的实数，且g（x）=bx²+cx=x（bx+c），则g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）.

方程f（x）=0就是x（bx+c）=0.　　                                   ①

方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0.　　   ②

（i）当c=0时，b≠0，方程①、②的根都为x=0，符合题意。

（ii）当c≠0，b=0时，方程①、②的根都为x=0，符合题意。

（iii）当c≠0，b≠0时，方程①的根为x₁=0，x₂=-，它们也都是方程②的根，但它们不是方程b²x²+bcx+c=0的实数根。

由题意，方程b²x²+bcx+c=无实数根，此方程根的判别式△＝（bc）²-4b²c＜0，得0＜c＜4。

综上所述，所求c的取值范围为［0，4）.

（3）由a=1，f（1）=0得b= -c，f（x）=bx²+cx=cx（-x+1），

g（f（x））=f（x）[f²（x）-cf（x）+c].　　                                     ③

由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x） =0的根一定是方程g（f（x））=0的根。

当c=0时，符合题意。

当c≠0时，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f²（x）-cf（x）+c=0　　 ④

的根，因此，根据题意，方程④应无实数根，那么

当（-c）²-4c＜0，即0＜c＜4时，f²（x）-cf（x）+c>0，符合题意。

当（-c）²-4c≥0，即c＜0或c≥4时，由方程④得

f（x）=-cx²+cx=，即cx²–cx+=0，　  ⑤

则方程⑤应无实数根，所以有

（-c）²-4c＜0且（-c）²-4c＜0.

当c＜0时，只需-c²-2c＜0，解得0＜c＜，矛盾，舍去。

当c≥4时，只需-c²+2c＜0，解得0＜c＜.

因此，4≤c＜.

综上所述，所示c的取值范围为［0， ）。