Question

已知椭圆C:+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂,离心率为e,直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F₁关于直线l的对称点.设=λ.

(1)证明λ=1-e²;

(2)确定λ的值,使得△PF₁F₂是等腰三角形.

Answer 1

(1)证明∵A、B是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,∴A、B的坐标分别为A(-,0)、B(0,a).

    由

    得(c=)∴M(-c,).

    由=λ,得(-c+,)=λ(,a),

    即

    解得λ=1-e².

(2)解：∵PF₁⊥l,∴∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角,要使△PF₁F₂为等腰三角形,必有|PF₁|=|F₁F₂|,即|PF₁|=c.

    依题意,点F₁到l的距离为c,即=c.

∴=e,e²=,λ=1-e²=,

    即当λ=时,△PF₁F₂为等腰三角形.