Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，

an+1+an

an

=

an+2-an+1

an+1

(n∈N*)，则a₂₀₀=（　　）

A．2¹⁹⁹?199!

B．201!-1

C．2¹⁹⁸?201!

D．198!-1

Answer 1

分析：由数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，

an+1+an

an

=

an+2-an+1

an+1

(n∈N*)，知

an+2

an+1

-

an+1

an

=2，故

an+1

an

=2+2(n-1)=2n，由此能导出an=(n-1)!•2n-1，从而能求出a₂₀₀．

解答：解：数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，

an+1+an

an

=

an+2-an+1

an+1

(n∈N*)，
∴

an+1

an

+1=

an+2

an+1

-1，
∴

an+2

an+1

-

an+1

an

=2，
{

an+1

an

}为等差数列，公差d=2，

an+1

an

=2+2(n-1)=2n，
当n≥2时，

a2

a1

=2，

a3

a2

=4，

a4

a3

=6，

a5

a4

=8，
…

an

an-1

=2(n-1)，
∴

an

a1

=2×4×6×…×2(n-1)
=2^n-1×（n-1）!
∴an=(n-1)!•2n-1，
∴a200=2199•199!．
故选A．

点评：本题考查数列的递推式的应用，考查运算求解能力，考查推导论证能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．