Question

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）若A、B、C成等差数列，求B的值；
（2）若a、b、c成等比数列，求sinB+

3

cosB的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由三角形的内角和定理与A、B、C成等差数列，求出B的值；
（2）由a，b，c成等比数列，得b²=ac，由余弦定理得出cosB，将b²=ac代入，利用基本不等式变形求出cosB的范围，从而得出B的取值范围；把所求的式子化为一个角的正弦函数，由B的范围求出它的取值范围．

解答：解：（1）△ABC中，∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C；
又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
即B的值是

π

3

；
（2）△ABC中，∵a、b、c成等比数列，
∴b²=ac，
又∵a²+c²≥2ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

ac

=

1

2

，
当且仅当a=c时取等号，
∴0＜B≤

π

3

，
又sinB+

3

cosB=2（

1

2

sinB+

3

2

cosB）=2sin（B+

π

3

），
∴B+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

]，
∴

3

≤2sin（B+

π

3

）≤2，
∴sinB+

3

cosB的取值范围[

3

，2]．

点评：本题考查了等差与等比数列以及三角函数的综合应用问题，是易错题．