Question

6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆E的顶点四边形的面积为16．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的顶点P（0，b）的直线l交椭圆于另一点M，交x轴于点N，若|PN|、|PM|、|MN|成等比数列，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：2ab=16，椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{c^2}={a^2}-{b^2}$，则a=2b，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）直线l的斜率不存在时，|PM|²≠|PN|•|MN|，不合题意，直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆的标准方程，求得M，N坐标，$\frac{{|{PM}|}}{{|{PN}|}}=\frac{{|{MN}|}}{{|{PM}|}}$，则$\frac{{{x_P}-{x_M}}}{{{x_P}-{x_N}}}=\frac{{{x_M}-{x_N}}}{{{x_P}-{x_M}}}$，代入即可求得k的值，即可求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）焦点在x轴上，
椭圆E的顶点四边形的面积为16，由菱形的面积公式可知：2ab=16，①…（1分）
又由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{c^2}={a^2}-{b^2}$，整理得：a=2b，②…（3分）
解①②得：a=4，b=2，
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；…（5分）
（Ⅱ）由题意|PM|²=|PN|•|MN|，故点N在PM的延长线上，
当直线l的斜率不存在时，|PM|²≠|PN|•|MN|，不合题意，…（6分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，令y=0，得${x_N}=-\frac{2}{k}$，…（7分）
将直线l的方程代入椭圆E的方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，整理得：（4k²+1）x²+16kx=0，…（8分）
因为x_P=0，解得：${x_M}=-\frac{16k}{{4{k^2}+1}}$，…（9分）
由$\frac{{|{PM}|}}{{|{PN}|}}=\frac{{|{MN}|}}{{|{PM}|}}$，则$\frac{{{x_P}-{x_M}}}{{{x_P}-{x_N}}}=\frac{{{x_M}-{x_N}}}{{{x_P}-{x_M}}}$，即$\frac{{\frac{16k}{{4{k^2}+1}}}}{{\frac{2}{k}}}=\frac{{\frac{2}{k}-\frac{16k}{{4{k^2}+1}}}}{{\frac{16k}{{4{k^2}+1}}}}$，…（10分）
解得：${k^4}=\frac{1}{80}$，即$k=±\frac{1}{{2\root{4}{5}}}$，…（11分）
∴直线l的方程为$x±2\root{4}{5}（y-2）=0$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查等比数列的性质，考查计算能力，属于中档题．