Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=

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x+b与C交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）求实数b的取值范围．
（II）是否存在实数b，使得直线OA、OB倾斜角之和等于135°？若存在，求出实数b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）抛物线C：y²=4x与直线l：y=

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x+b联立，利用判别式大于0，即可求实数b的取值范围．
（II）把直线方程与抛物线方程联立，设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k₁，k₂，则α+β=135°，tan（α+β）=tan135°=-1，由此可得结论．

解答：解：（I）抛物线C：y²=4x与直线l：y=

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x+b联立，消去y可得x²+（4b-16）x+4b²=0
∴△=-128b+256＞0，∴b＜2；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-4b-16，x₁x₂=4b²，
设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k₁，k₂，
则α+β=135°，tan（α+β）=tan135°=-1，
∴

kOA+kOB

1-kOAkOB

=-1
∴k_OA+k_OB-k_OAk_OB+1=0
∴

y1

x1

+

y2

x2

-

y1

x1

•

y2

x2

+1=0
∴

7

4

x₁x₂+

b

2

（x₁+x₂）-b²=0
∴

7

4

×4b²+

b

2

（-4b-16）-b²=0
∴b=-2或b=0（舍去）
经检验，b=-2时符合题意．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．