Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n 且Sn=2n2，数列{b_n}的前n项和是T_n且Tn+

1

2

bn=1．n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=a_n•b_n，求证：当n≥2时，数列{c_n}是递减数列．

Answer 1

分析：（1）利用an=

Sn，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由Sn=2n2，能求出a_n．
（2）由T_n=1-

1

2

bn，当n=1时，解得b1=

2

3

；当n≥2时，Tn-1=1-

1

2

bn-1，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（3）由a_n=4n-2，b_n=

2

3n

，知c_n=a_n•b_n=（4n-2）•

2

3n

=

4(2n-1)

3n

．由此能够证明c_n+1≤c_n．

解答：（1）解：∵数列{a_n}的前n项和是S_n 且Sn=2n2，
∴a₁=S₁=2，
a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
当n=1时，4n-2=2=a₁，
∴a_n=4n-2．
（2）证明：∵数列{b_n}的前n项和是T_n且Tn+

1

2

bn=1．n∈N^*，
∴T_n=1-

1

2

bn，
当n=1时，b1=1-

1

2

b1，解得b1=

2

3

；
当n≥2时，Tn-1=1-

1

2

bn-1，②
①-②，得b_n=

1

2

bn-1-

1

2

bn，
∴bn=

1

3

bn-1，
又∵b₁=

2

3

≠0，
∴

bn

bn-1

=

1

3

，
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（3）证明：由（2）得b_n=

2

3n

，
∴c_n=a_n•b_n=（4n-2）•

2

3n

=

4(2n-1)

3n

．
∴c_n+1-c_n=

4(2n+1)

3n+1

-

4(2n-1)

3n

=

16(1-n)

3n+1

，
∵n≥1，∴c_n+1-c_n≤0，
故c_n+1≤c_n．所以数列是递减数列

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意构造法和作差相减法的合理运用．