Question

设函数f（x）=x²-2acos[（k-1）π]lnx （k∈N^*，a∈R）．
（1）若k=2011，a=1，求函数f（x）的最小值；
（2）若k是偶数，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的最小值；
（2）当k是偶数时，f（x）=x²-2alnx，求导函数，对a进行分类讨论：当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，利用导数的正负可得结论．

解答：解：（1）因为k=2011，a=1，所以f（x）=x²-2lnx，f′（x）=

2(x2-1)

x

(x＞0)，
由f′（x）＞0得x=1，且当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是减函数．
故f（x）_min=f（1）=1．（5分）
（2）当k是偶数时，f（x）=x²-2alnx，f′（x）=

2(x2+a)

x

(x＞0)，
所以当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；（9分）
当a＜0时，由f′（x）=0得x=

-a

，且当x＞

-a

时，f′（x）＞0，当x＜

-a

时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

-a

）上是减函数，f（x）在（

-a

，+∞）上是增函数．（13分）
综上可得当a＞0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的减区间为（0，

-a

），增区间为（

-a

，+∞）．（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．