Question

椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,焦点到相应的准线的距离以及离心率均为,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆O交于相异两点A、B,且.

(1)求椭圆方程;

(2)若,求m的取值范围.

Answer 1

解：(1)设椭圆方程为=1(a＞b＞0),且c＞0,c²=a²-b²,由条件知-c=,且=,则a=1,c=,∴b=.故C的方程为y²+=1.

(2)由,得.∴(1+λ).

∴1+λ=4,λ=3.设l与椭圆C的交点为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则由得(k²+2)x²+2kmx+(m²-1)=0,Δ=(2km)²-4(k²+2)(m²-1)=4(k²-2m²+2)＞0,(*)

x₁+x₂=,x₁x₂=.∵,∴-x₁=3x₂.∴x₁+x₂=-2x₂,x₁x₂=-3x₂².

再整理得3(x₁+x₂)²+4x₁x₂=0.∴3()²+4()=0,整理得4k²m²+2m²-k²-2=0.

当m²=时,上式不成立;当m²≠时,k²=.由(*)式得k²＞2m²-2,∵λ=3,∴k≠0.

∴k²=＞0.∴-1＜m＜-或＜m＜1,即所求m的取值范围为(-1,-)∪(,1).