Question

证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过

1

4

．

Answer 1

分析：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p，则P（ξ=0）=1-p，P（ξ=1）=p，根据设出的结果，写出方差，用不等式的性质得到结论．

解答：证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ，
∵ξ的可能取值为0或1，
又设事件在一次试验中发生的概率为p，
则P（ξ=0）=1-p，
P（ξ=1）=p，
∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p，
∴Dξ=（1-p）•（0-p）²+p（1-p）²=p（1-p）≤（

p+1-p

2

）²=

1

4

．
∴事件在一次试验中发生的次数的方差不超过

1

4

．

点评：本题考查离散型随机变量的方差和证明不等式，不等式的解法，解题时要注意题目中的数字本身所隐含的条件，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查．