Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥侧面AA₁C₁C，AC=BC=1，CC₁=2，，D为AA₁的中点。

（1）求证：A₁C⊥平面ABC；
（2）截面BDC₁将三棱柱分成两部分，其体积分别是V₁，V₂，求V₁：V₂。

Answer 1

解：（1）∵BC⊥侧面AA1C1C，A1C面AA1C1C， ∴BC⊥A1C 在△AA1C中，AC=1，AA1=CC1=2， 由余弦定理得A1C2=AC2+AA12-2AC·AA1cos∠CAA1 所以 故有， 所以AC⊥A1C， 而AC∩BC=C， ∴A1C⊥平面ABC。
（2）∵BC⊥侧面AA1C1C， ∴BC⊥AC， 故Rt△ABC的面积 由（1）知A1C⊥平面ABC， ∴棱柱ABC- A1B1C1的体积 截面BDC1将三棱柱分成两部分，设V1对应的是四棱锥B-ADC1C 如图，过点C作CE⊥AD，垂足为E 在Rt△CAE中，CE=AC·sin∠CAE= 所以梯形ADC1C的面积为   ∵BC⊥侧面AA1C1C， ∴四棱锥B-ADC1C的体积 故另一部分体积 所以。