Question

正弦曲线关于原点、(π，0)、(－π，0)成中心对称图形．结合正弦函数的图像，你发现正弦曲线还有其他对称中心吗？

Answer 1

答案：
解析：

由于正弦函数是奇函数，则其图像关于原点对称． 　　设点P(x0，y0)是正弦函数y＝sinx图像上任意一点，则y0＝sinx0． 　　那么点P(x0，y0)关于点(π，0)的对称点为M(2π－x0，－y0)， 　　∵sin(2π－x0)＝－sinx0， 　　∴sin(2π－x0)＝－y0， 　　即点M(2π－x0，－y0)也在正弦函数y＝sinx的图像上． 　　又∵点P(x0，y0)是正弦函数y＝sinx图像上任意一点， 　　∴正弦曲线关于(π，0)成中心对称图形． 　　同理可证正弦曲线关于(－π，0)成中心对称图形． 　　如图所示，观察正弦函数的图像，可归纳，得原点、(±π，0)都是正弦曲线与x轴的交点，可猜想正弦曲线与x轴的交点(kπ，0)(k∈Z)都是正弦曲线的对称中心． 　　证明：设点P(x0，y0)是正弦函数y＝sinx图像上任意一点，则y0＝sinx0． 　　则点P(x0，y0)关于点(kπ，0)的对称点M(2kπ－x0，－y0)， 　　∵sin(2kπ－x0)＝－sinx0， 　　∴sin(2kπ－x0)＝－y0， 　　即点M(2kπ－x0，－y0)也在正弦函数y＝sinx图像上． 　　∵点P(x0，y0)是正弦函数y＝sinx图像上任意一点， 　　∴正弦曲线关于(kπ，0)成中心对称图形． 　　综上可得，正弦曲线的对称中心是正弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值为0；并且任意相邻的两个对称中心正好相差半个周期．