Question

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，且AB=，BC=1，E，F分别为AB，PC中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE．

Answer 1

证明：（1）取线段PD的中点M，连接FM，AM．
因为F为PC的中点，
所以FM∥CD，且FM=CD．
因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
所以EA∥CD，且EA=CD．
所以FM∥EA，且FM=EA．
所以四边形AEFM为平行四边形．
所以EF∥AM．            
又AM平面PAD，EF平面PAD，
所以EF∥平面PAD．
（2）设AC，DE相交于G．
在矩形ABCD中，因为AB=BC，E为AB的中点．
所以==．
又∠DAE=∠CDA，
所以△DAE∽△CDA，
所以∠ADE=∠DCA．
又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
所以∠DCA+∠CDE=90°．
由△DGC的内角和为180°，得∠DGC=90°．即DE⊥AC．  
因为平面PAC⊥平面ABCD
因为DE平面ABCD，
所以DE⊥平面PAC，
又DE平面PDE，
所以平面PAC⊥平面PDE．