Question

设函数f（x）=x²-aln（2x+1）（x∈（-，1]，a>0）
（1）若函数f（x）在其定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）函数f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x的值，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵，
∵f（x）在x∈（-，1]上是减函数，
∴在恒成立，
又∵当时，2x+1>0，
∴不等式在恒成立，
即在时恒成立，
设g（x）=，，则，∴a≥3；
（2）∵，令，
解得：，，
由于a>0，∴，，
∴，
①当，即0<a<3时，在上；
在上，
∴当时，函数f（x）在上取最小值；
② 当即a≥3时，在上，
∴当x=1时，函数f（x）在上取最小值
由①②可知，当0<a<3时，函数f（x）在时取最小值；
当a≥3时，函数f（x）在x=1时取最小值。