Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中点,截面DAN交PC于M.

(1)求PB与平面ABCD所成角的大小;

(2)求证:PB⊥平面ADMN;

(3)求以AD为棱,PAD与ADMN为面的二面角的大小.

Answer 1

(1)解:取AD中点O,连结PO、BO.

△PAD是正三角形,所以PO⊥AD,

又因为平面PAD⊥平面ABCD,所以,PO⊥平面ABCD.

BO为PB在平面ABCD上的射影,

所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.

由已知△ABD为等边三角形,所以PO=BO=,

所以PB与平面ABCD所成的角为45°.

(2)证明:连结BD,△ABD是正三角形,所以AD⊥BO.所以,AD⊥PB.

又PA=AB=2,N为PB中点,

所以AN⊥PB.

所以PB⊥平面ADMN.

(3)解:连结ON,因为PB⊥平面ADMN,所以ON为PO在平面ADMN上的射影.因为AD⊥PO,所以AD⊥NO.

故∠PON为所求二面角的平面角.

    因为△POB为等腰直角三角形,N为斜边中点,所以∠PON=45°,即所求二面角的大小为45°.