Question

已知函数f（t）=|t+1|﹣|t﹣3|．

（I）求f（t）＞2的解集；

（II）设a＞0，g（x）=ax²﹣2x﹣5．若对任意实数x，t，均有g（x）≥f（t）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：

函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．

专题：

计算题．

分析：

（I）找出界点t=﹣1和t=3，分三种情况进行讨论，将问题转化为求解不等式问题；

（II）根据题意对任意实数x，t，均有g（x）≥f（t）恒成立，将问题转化为g（x）的最小值大于等于f（t）的最大值即可；

解答：

解：（I）由|t+1|﹣|t﹣3|＞2得，

（1）当t＜﹣1，时

可得﹣4＞2，t∈∅；

（2）当﹣1≤t≤3时，

2t﹣2＞2，解得{t|2＜t≤3}；

（3）当t＞3时，4＞2恒成立，

∴t＞2；

∴f（t）＞2的解集为{t|t＞2}；

（II）∵a＞0，g（x）=ax²﹣2x+5，g（x）≥f（t）恒成立，

可转化为g_min（x）≥f_max（t）

g（x）=a（x﹣）²+

f（t）=|t﹣1|﹣|t﹣3|≤|t+1﹣t+3|=4，

∴解得a≥1；

点评：

此题考查绝对值不等式求解问题和函数的恒成立转化问题，考查的知识点比较全面，是一道中档题；