Question

如图，已知四棱锥P -ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD， ,

E，F分别是BC，PC的中点。

（I）证明：AEPD；

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E―AF―C的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE. 而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD. 所以AE⊥PD.

（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，所以  当AH最短时，∠EHA最大，

即当AH⊥PD时，∠EHA最大. 此时tan∠EHA=

因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.

解法一：因为   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以   平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

  

在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

又

在Rt△ESO中，cos∠ESO=

即所求二面角的余弦值为

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），

所以

设平面AEF的一法向量为

则     因此

取

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，

故为平面AFC的一法向量.

又=（-），

所以cos＜m, ＞==

因为   二面角E-AF-C为锐角，

所以所求二面角的余弦值为