Question

已知O（0，0），B（1，0），C（b,c)是△OBC的三个顶点.

（1）写出△OBC的重心G、外心F、垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；

（2）直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.

Answer 1

解:（1）∵△OBC的顶点O(0,0),B(1,0),C(b,c)，

∴c≠0，且重心G(,)，外心F(,)，垂心H(b,).

∴=(-,-)=()，

∴=(b-,.

∴=,故G、F、H三点共线.

（2）∵=,=(1,0), ∥,且≠0,∴=0(c≠0,b≠)，配方得3（b-）²+c²=，

即=1.故=1(x≠,y≠0)为所求的轨迹方程.

（x=时，△OBC为等边三角形，G、F、H三点重合；而当y=0时，O、B、C三点共线不能构成三角形）

因此顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且焦点在直线

x=上的椭圆，除去(0,0)(1,0),(,),(,-)四点.