Question

等差数列{a_n}中，S_m=S_n(m≠n)，求a₁+a_m+n的值.

Answer 1

解:方法一：设S_n=An²+Bn(A、B为常数),

则S_m=Am²+Bm,

S_m+n=A(m+n)²+B(m+n).

∵S_n=S_m,

∴An²+Bn=Am²+Bm.

∴A(m²-n²)+B(m-n)=(m-n)［A(m+n)+B］=0.

又∵m≠n,

∴A(m+n)+B=0.

∴A(m+n)²+B(m+n)=0,

即S_m+n=0.

又由等差数列前n项和公式得

S_m+n=

∴a₁+a_m+n=0.

方法二：∵S_m=S_n,

∴ma₁+=na₁+ ,

移项分解得：（m-n)［a₁+(m+n-1)］=0.

∵m≠n，∴m-n≠0,

∴a₁+(m+n-1)=0,

∴a₁+a_m+n=a₁+a₁+(m+n-1)d

=2［a₁+(m+n-1)］=2×0=0.

方法三：同方法二,a₁+(m+n-1)=0，

∴S_m+n=(m+n)a₁+(m+n)·(m+n-1)·=(m+n)·［a₁+(m+n-1)］=0

（以下同方法一）.