Question

已知数列{a_n}满足an=2an-1+2n-1（n∈N₊，且n≥2），a₄=81．
（1）求数列的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）数列{

an+p

2n

}为等差数列，求实数p的值；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件直接求出a₃，然后求出a₂，a₁．
（2）通过数列{

an+p

2n

}为等差数列，按照等差数列的定义，公差是常数，直接求解p的值．
（3）利用（2）求出通项公式，然后通过错位相减法求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由an=2an-1+2n-1（n∈N₊，且n≥2）得a4=2a3+24-1=81，得a₃=33
同理，得a₂=13，a₁=5…（4分）
（2）对于n∈N，且n≥2，
∵

an+p

2n

-

an-1+p

2n-1

=

an-2an-1-p

2n

=

2n-1-p

2n

=1-

1+p

2n

又数列{

an+p

2n

}为等差数列，∴

an+p

2n

-

an-1+p

2n-1

是与n无关的常数，
∴1+p=0，p=-1…（8分）
（3）由（2）知，等差数列{

an+p

2n

}的公差为1，
∴

an-1

2n

=

a1-1

2

+(n-1)=n+1，得an=(n+1)•2n+1．…（9分）
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ+n，
记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n，则有2Tn=+2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1，
两式相减，得 Tn=n×2n+1，
故  Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1)．…（13分）

点评：本题考查数列的定义判断等差数列的应用，数列求和的常用方法--错位相减法，考查计算能力．