Question

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（I）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取BD的中点P，连接EP，FP，则PF

∥ .

.

1

2

DC，由EA

∥ .

.

1

2

DC，知四边形AFPE是平行四边形，由此能够证明AF∥面BDE．
（Ⅱ）以CA，CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立空间直角坐标系，由DC=AC=2AE=2，得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），则

AB

=(0，2，0)，

BE

=(0，-2，1)，

BD

=(-2，-2，2)，由面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AB⊥AC，知

AB

=(0，2，0)是平面CDE的一个法向量，由面BDE的一个法向量

n

=(1，1，2)，能求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答：解：（I）取BD的中点P，连接EP，FP，则PF

∥ .

.

1

2

DC，∵EA

∥ .

.

1

2

DC，∴EA

∥ .

.

PF，
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥面BDE．
（Ⅱ）以CA，CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由DC=AC=2AE=2，得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），
则

AB

=(0，2，0)，

BE

=(0，-2，1)，

BD

=(-2，-2，2)
∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，
AB⊥AC，∴AB⊥面ACDE，
∴

AB

=(0，2，0)是平面CDE的一个法向量，
设面BDE的一个法向量

n

=（x，y，z），则

n

⊥

BE

，

n

⊥

BD

，
∴

n • BE =0 n • BD =0

，即

-2y+z=0 -2x-2y+2z=0

，
整理，得

2y-z=0 x+y-z=0

，
令y=1，则z=2，x=1，∴

n

=(1，1，2)是平面CDE的一个法向量，
故cos＜

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB |•| n |

=

1×2

2× 6

=

6

6

，
由图形知二面角B-DE-C的平面角θ∈(0，

π

2

)，
所以二面角B-DE-C的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，二查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题上，合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．